Question

4．如图，点A（0，2）、B（4，0），点P从（8，0）出发，以每秒2个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，同时，点Q从B点出发，以每秒1个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，过点P作x轴的垂线l，过点Q作AB的垂线l₂，它们的交点为M．设运动的时间为t（0＜t＜4）秒
（1）写出点M的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）设△MPQ与△OAB重叠部分的面积为S
①试求S关于t的函数关系式；
②在整个运动过程中，S是否存在最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意表示出P与Q坐标，进而表示出PQ的长，由三角形OAB与三角形QPM相似，得比例表示出PM，进而表示出M坐标；
（2）①设l₂与AB的交点为C，l₁与AB的交点为D，易得直线AB对应的解析式，把M坐标代入求出t的值，分三种情况考虑：（i）当0＜t≤2时，如图1所示，根据S=S_△CQB表示出S；（ii）当2＜t＜$\frac{10}{3}$时，如图2所示，根据S=S_{四边形CQPD}=S_△CQB-S_△PDB表示出S；（iii）当$\frac{10}{3}$≤t＜4时，根据S=S_△POM表示出S即可；
②根据①中的解析式，利用二次函数性质求出S最大值即可．

解答 解：（1）由题意得：P（8-2t，0），Q（4-t，0），
∴PQ=4-t，
∵△OAB∽△QPM，
∴$\frac{MP}{PQ}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴PM=2PQ=8-2t，
∴M（8-2t，8-2t）；
（2）①设l₂与AB的交点为C，l₁与AB的交点为D，易得直线AB对应的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴8-2t=-$\frac{1}{2}$（8-2t）+2，
解得：t=$\frac{10}{3}$；
（i）当0＜t≤2时，如图1所示，在Rt△OAB中，AB=2$\sqrt{5}$，
由△OAB∽△CQB，得到$\frac{{S}_{△CQB}}{{S}_{△OAB}}$=（$\frac{t}{2\sqrt{5}}$）²，
∴S=S_△CQB=$\frac{{t}^{2}}{20}$×$\frac{1}{2}$×2×4=$\frac{1}{5}$t²；
（ii）当2＜t＜$\frac{10}{3}$时，如图2所示，PD=2t-4，
由△OAB∽△PDB，得到PD=t-2，
∴S=S_{四边形CQPD}=S_△CQB-S_△PDB=S_△CQB-$\frac{1}{2}$PD•PB=$\frac{1}{5}$t²-$\frac{1}{2}$•（2t-4）•（t-2）=-$\frac{4}{5}$t²+4t-4；
（iii）当$\frac{10}{3}$≤t＜4时，S=S_△POM=$\frac{1}{2}$PQ•PM=$\frac{1}{2}$•（4-t）•（8-2t）=（4-t）²=t²-8t+16；
②（i）当0＜t≤2时，S=$\frac{1}{5}$t²，此时当t=2时，S_最大=$\frac{4}{5}$；
（ii）当2＜t＜$\frac{10}{3}$时，S=-$\frac{4}{5}$t²+4t-4=-$\frac{4}{5}$（t-$\frac{5}{2}$）²+1，此时当t=$\frac{5}{2}$时，S_最大=1；
（iii）当$\frac{10}{3}$≤t＜4时，S=（4-t）2，此时当t=$\frac{10}{3}$时，S_最大=$\frac{4}{9}$，
综上，当t=$\frac{5}{2}$时，S_最大=1．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，二次函数的性质，以及一次函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．