【题目】如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上,设CD的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
当0<x≤1时,根据正方形的面积公式得到y=x2;当1<x≤2时,ED交AB于M,EF交AB于N,利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2﹣2(x﹣1)2,配方得到y=﹣(x﹣2)2+2,然后根据二次函数的性质对各选项进行判断.
解:当0<x≤1时,y=x2,
当1<x≤2时,ED交AB于M,EF交AB于N,如图,
CD=x,则AD=2﹣x,
∵Rt△ABC中,AC=BC=2,
∴△ADM为等腰直角三角形,
∴DM=2﹣x,
∴EM=x﹣(2﹣x)=2x﹣2,
∴S△ENM=(2x﹣2)2=2(x﹣1)2,
∴y=x2﹣2(x﹣1)2=﹣x2+4x﹣2=﹣(x﹣2)2+2,
∴y=,
故选A.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,﹣3),动点P在抛物线上.
(1)b= ,c= ,点B的坐标为 ;
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)是否存在点P使得∠PCA=15°,若存在,请直接写出点P的横坐标.若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知反比例函数y1=与一次函数y2=k2x+b的图象交于点A(2,4),B(﹣4,m)两点.
(1)求k1,k2,b的值;
(2)求△AOB的面积;
(3)请直接写出不等式≥k2x+b的解.
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【题目】在边长为2的菱形ABCD中,E是边AD的中点,点F、G、H分别在边AB、BC、CD上,且FG⊥EF,EH⊥EF.
(1)如图1,当点是边
中点时,求证:四边形
是矩形;
(2)如图2,当时,求
值;
(3)当,且四边形
是矩形时(点
不与
中点重合),求
的长.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,∠B=600,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若PD=,求⊙O的直径.
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【题目】如图,我国某边防哨所树立了“祖国在我心中”建筑物,它的横截面为四边形BCNM,其中BC⊥CN,BM∥CN,建筑物顶上有一旗杆AB,士兵小明站在D处,由E点观察到旗杆顶部A的仰角为52°,底部B的仰角为45°,已知旗杆AB=2.8米,DE=1.8米.(参考数据:sin52°≈0.788,tan52°≈1.280)
(1)求建筑物的高度BC;
(2)建筑物长50米,背风坡MN的坡度i=1:0.5,为提高建筑物抗风能力,士兵们在背风坡填筑土石方加固,加固后建筑物顶部加宽4.2米,背风坡GH的坡度为i=1:1.5,施工10天后,边防居民为士兵支援的机械设备终于到达,这样工作效率提高到了原来的2倍,结果比原计划提前20天完成加固任务,士兵们原计划平均每天填筑土石方多少立方米?
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【题目】某工程队修建一条长1200 m的道路,采用新的施工方式,工效提升了50%,结果提前4天完成任务.
(1)求这个工程队原计划每天修道路多少米?
(2)在这项工程中,如果要求工程队提前2天完成任务,那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几?
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【题目】如图AB是⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,BP与⊙O相交于点D,C为⊙O上的一点,分别连接CB、CD,∠BCD=60°.
(1)求∠ABD的度数;
(2)若AB=6,求PD的长度.
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【题目】某校开展“传统文化”知识竞赛,已知该校七年级男生和女生各有学生200人,从中各随机抽取20名学生进行抽样调查,获得了他们知识竞赛成绩(满分100分),并进行整理,得到下面部分信息.
男生:74 97 96 89 98 74 65 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74
女生:76 87 93 65 78 94 89 68 95 54 89 87 89 89 77 94 86 87 92 91
成绩 | 50≤x≤59 | 60≤x≤69 | 70≤x≤79 | 80≤x≤89 | 90≤x≤100 |
男生 | 0 | 1 | 10 | 1 | 8 |
女生 | 1 | 2 | a | 8 | 6 |
平均数、中位数、众数、方差如表所示:
成绩 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
男生 | 84 | 77 | 74 | 145.4 |
女生 | 84 | b | 89 | 115.6 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)a= ,b= ;
(2)你认为七年级学生中,男生还是女生的总体成绩较好,为什么?(至少从两个不同的角度说明)
(3)若在此次竞赛中,该校七年级学生中有四人取得100分的好成绩,且恰好是两个男生两个女生.现从这四人中随机抽取两人参加市里的竞赛,求这两人恰好是一男一女的概率.
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