Question

19．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（$\frac{1}{2}$，0），对称轴为x=-1，下列5个结论：①abc＞0；②a+2b+4c=0；③2a-b＞0；④3b+2c＞0；⑤a-b≥m（ma+b）（m为任意实数），其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-1得到b=2a，则b＞0，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，所以abc＜0；由x=$\frac{1}{2}$，y=0，得到$\frac{1}{4}$a+$\frac{1}{2}$b+c=0，即a+2b+4c=0；由a=$\frac{1}{2}$b，a+b+c＞0，得到b+2b+2c＞0，即3b+2c＞0；由x=-1时，函数最大小，则a-b+c＜m²a-mb+c（m≠1），即a-b≤m（am-b）．

解答 解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴b=2a，则2a-b=0，所以③错误；
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵x=$\frac{1}{2}$时，y=0，
∴$\frac{1}{4}$a+$\frac{1}{2}$b+c=0，即a+2b+4c=0，所以②正确；
∵a=$\frac{1}{2}$b，a+b+c＞0，
∴$\frac{1}{2}$b+b+c＞0，即3b+2c＞0，所以④正确；
∵x=-1时，函数值最小，
∴a-b+c＜m²a-mb+c（m≠1），
∴a-b≤m（am-b），所以⑤错误
故选：B．

点评 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．