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【题目】M为双曲线y=上的一点,过点Mx轴、y轴的垂线,分别交直线y=﹣x+m于点D,C两点,若直线y=﹣x+my轴交于点A,与x轴相交于点B.

(1)求ADBC的值.

(2)若直线y=﹣x+m平移后与双曲线y=交于P、Q两点,且PQ=3,求平移后m的值.

(3)若点M在第一象限的双曲线上运动,试说明△MPQ的面积是否存在最大值?如果存在,求出最大面积和M的坐标;如果不存在,试说明理由.

【答案】(1)2 (2)m=± (3)不存在最大的h,即△MPQ的面积不存在最大值

【解析】

(1) CCEx轴于E,过DDFy轴于F如图1,求得A(0,m); Bm,0).求得ABO为等腰直角三角形推出ADFBCE也是等腰直角三角形设M(a,b),ab=,CE=b,DF=a解直角三角形即可得到结论;

(2) y=﹣x+m代入双曲线y=中,整理得:x2mx+=0,根据根与系数的关系得到:m=± ;

(3)由上述结论知x1=y2x2=y1AO=BO=y1+y2=x1+x2=m,由于x1+x2=mx1x2=②,得到P,Q两点的坐标,得到PQ= ,根据SMPQ= ,得到PQ为定值,于是得到PQ边上的高有最大值时,即存在面积的最大值,M无限向x轴右侧运动时,(或向y轴的上方运动时)h的值无限增大,于是得到不存在最大的h,MPQ的面积不存在最大值.

(1)解:过CCEx轴于E,过DDFy轴于F,如图1,

x=0时,y=m,

∴A(0,m);

y=0时,x=m,

∴B(m,0).

∴△ABO为等腰直角三角形

∴∠OAB=∠OBA=45°

∴△ADF△BCE也是等腰直角三角形

M(a,b),ab= ,CE=b,DF=a

∴AD= DF= a,BC= CE= b

∴ADBC= a b=2ab=2

(2)解:将y=﹣x+m代入双曲线y= 中,整理得:x2﹣mx+ =0,

x1、x2是方程x2﹣mx+ =0的两个根(x1<x2),

∴x1+x2=m,x1x2=

∵PQ=3 ,直线的解析式为y=﹣x+m,

∴x2﹣x1=3= =

解得:m=±

(3)解:由上述结论知x1=y2 , x2=y1AO=BO=y1+y2=x1+x2=m ①,

∵x1x2= ②,

∴P,Q两点的坐标可表示为P(x1 , x2),Q(x2 , x1),

∴PQ= (x2﹣x1),

∵(x2﹣x12=(x1+x22﹣4x1x2=m2﹣4

∴PQ=

∵SMPQ= PQh,∵PQ为定值,

∴PQ边上的高有最大值时,即存在面积的最大值,

当直线y=﹣x+m无限向x轴右侧运动时,(或向y轴的上方运动时)h的值无限增大,

不存在最大的h,即△MPQ的面积不存在最大值.

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