【题目】已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=3,点D为AB的中点,点E为线段BC上的点,连接DE,把△BDE沿着DE翻折得△B1DE.
(1)当A、D、B1、C构成的四边形为平行四边形,求DE的长;
(2)当DB1⊥AC时,求△DE B1和△ABC重叠部分的面积.
【答案】(1) 或3;(2).
【解析】(1)如图1,由平行四边形的性质得DB1∥AC,且DB1=AC=3,由折叠知BD=DB1= 3,∠BDE=∠EDB1==30°,过E作EH⊥DB于H,则DH=BH=,在Rt△DEH中,根据勾股定理得DE2=(DE)2+,解之可得DE的值;如图2,由平行四边形的性质得B1D∥AC,且B1D=AC=3,又CD=AB=3,∠CAB=60°,可证四边形ACDB1为含60°角的菱形,从而∠E B1D=∠C B1D =30°,即E与C重合,DE的长即是CD的长.
(2)设B1D、B1E分别与AC交于P、Q,在Rt△ADP中,求出AP和DP的长,在Rt△B1PQ中,求出B 1P和PQ的长,然后根据△DE B1和△ABC重叠部分的面积=S△B1DE- S△B1PQ计算即可.
(1)如图1,若四边形为ACB1D的平行四边形,则有DB1∥AC,且DB1=AC=3,
由题意,∠B=30°,∠BDE=∠EDB1=30°,
∴DE=BE,
在Rt△ABC中,∠A=60°,AC=3,∴AB=6,BD=3,
过E作EH⊥DB于H,则DH=BH=,
在Rt△DEH中,EH=DE,DH=,
∴DE2=(DE)2+,
∴DE=;
如图2,若四边形为ACDB1的平行四边形,则有,B1D∥AC,且B1D=AC=3,
∵CD=AB=3,∠CAB=60°,
∴四边形ACDB1为含60°角的菱形,
∵∠E B1D=∠C B1D =30°,
∴E与C重合,
∴DE=CD=3;
综上,DE=或3,
(2)当DB1⊥AC时(如图3),设B1D、B1E分别与AC交于P、Q,
则:Rt△ADP中,∠A=60°,AD=3,
∴AP=,DP=,
Rt△B1PQ中,∠B 1=∠B=30°,B 1P=3-,
∴PQ=-,
∴S△B1PQ=×B 1P PQ= ×(3-)(-)=-,
又S△B1DE==×DB 1 PC=×3×=,
∴△DE B1和△ABC重叠部分的面积=-+=-.
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【题目】下列说法正确的是 ( )
①若m=n,则|m|=|n|; ②若m=-n,则|m|=|-n|;
③若|-m|=|-n|,则m=-n; ④若|-m|=|-n|,则m=n.
A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③
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【题目】如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若∠1=112°,则∠α的大小是( )
A.68°
B.20°
C.28°
D.22°
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【题目】制造厂的某车间生产圆形铁片和长方形铁片,如图,两个圆形铁片和一个长方形铁片可以制造成一个油桶.已知该车间有工人42人,每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片.问安排生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时,才能使生产的铁片恰好配套?
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【题目】某市为了节约用水,对自来水的收费标准作如下规定:每月每户用水不超过10吨的部分,按2元/吨收费;超过10吨的部分按2.5元/吨收费.
(1)若黄老师家5月份用水16吨,问应交水费多少元?
(2)若黄老师家6月份交水费30元,问黄老师家5月份用水多少吨?
(3)若黄老师家7月用水a吨,问应交水费多少元?(用a的代数式表示)
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【题目】如图,平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x与x轴交于O、B两点,顶点为P,连接OP、BP,直线y=x﹣4与y轴交于点C,与x轴交于点D.
(Ⅰ)直接写出点B坐标 ;判断△OBP的形状 ;
(Ⅱ)将抛物线沿对称轴平移m个单位长度,平移的过程中交y轴于点A,分别连接CP、DP;
(i)若抛物线向下平移m个单位长度,当S△PCD= S△POC时,求平移后的抛物线的顶点坐标;
(ii)在平移过程中,试探究S△PCD和S△POD之间的数量关系,直接写出它们之间的数量关系及对应的m的取值范围.
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【题目】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上,BD=3,DC=1,点P是AB上的动点,则PC+PD的最小值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
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【题目】“*”是新规定的这样一种运算法则:a*b=a2+2ab,比如3*(﹣2)=32+2×3×(﹣2)=﹣3
(1)试求2*(﹣3)的值;
(2)若2*x=2,求x的值;
(3)若(﹣2)*(1*x)=x+9,求x的值.
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【题目】蚂蚁从点O出发,在一条直线上来回爬行.假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程记为负数,则爬过的各段路程依次记为(单位:cm):+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.
(1)蚂蚁最后是否回到出发点O?
(2)蚂蚁离开出发点O最远是多少?
(3)在爬行过程中,如果每爬行1奖励一粒糖,那么蚂蚁一共得到多少粒糖?
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