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【题目】已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=3,点DAB的中点,点E为线段BC上的点,连接DE,把△BDE沿着DE翻折得△B1DE

(1)当ADB1C构成的四边形为平行四边形,求DE的长;

(2)当DB1AC时,求△DE B1和△ABC重叠部分的面积

【答案】(1) 或3;(2).

【解析】(1)如图1,由平行四边形的性质得DB1AC,且DB1=AC=3,由折叠知BD=DB1= 3,∠BDE=EDB1==30°,过EEHDBH,则DH=BH=,在RtDEH中,根据勾股定理得DE2=DE2+,解之可得DE的值;如图2,由平行四边形的性质得B1DAC,且B1D=AC=3,又CD=AB=3,∠CAB=60°,可证四边形ACDB1为含60°角的菱形,从而∠E B1D=∠C B1D =30°,EC重合,DE的长即是CD的长.

(2)B1DB1E分别与AC交于PQ,在RtADP中,求出AP和DP的长,在RtB1PQ中,求出B 1PPQ的长,然后根据△DE B1和△ABC重叠部分的面积=SB1DE- SB1PQ计算即可.

1)如图1,若四边形为ACB1D的平行四边形,则有DB1AC,且DB1=AC=3

由题意,B=30°BDE=∠EDB1=30°

DE=BE

Rt△ABC中,A=60°AC=3AB=6BD=3

EEHDBH,则DH=BH=

Rt△DEH中,EH=DEDH=

DE2=DE2+

DE=

如图2,若四边形为ACDB1的平行四边形,则有,B1DAC,且B1D=AC=3

CD=AB=3CAB=60°

∴四边形ACDB1为含60°角的菱形,

∵∠E B1D=∠C B1D =30°

EC重合,

DE=CD=3

综上,DE=3,

2)当DB1AC时(如图3),设B1DB1E分别与AC交于PQ

则:Rt△ADP中,A=60°AD=3

AP=DP=

Rt△B1PQ中,B 1=∠B=30°B 1P=3

PQ=

∴SB1PQ=×B 1P PQ= ×3)(=

SB1DE==×DB 1 PC=×3×=

DE B1和△ABC重叠部分的面积=+=.

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A.4
B.5
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