Question

20．如图，点B为AE上一点，点D在BC上，AB=BC，BD=BE，∠ABC=90°，M、N分别是AD、CE的中点，求∠BMN的度数．

Answer 1

分析 连接BN，求出∠ABD=∠CBE，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAB=∠ECB，全等三角形对应边相等可得AD=CE，再求出AM=CN，然后利用“边角边”证明△AMB和△CNB全等，根据全等三角形对应边相等可得BM=BN，∠ABM=∠CBN，然后求出∠MBN=∠ABC=90°，判断出△BMN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BMN=45°．

解答 解：如图，连接BN，
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠DAB=∠ECB，AD=CE，
又∵M、N分别是AD、CE的中点，
∴AM=CN，
在△AMB和△CNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠DAB=∠ECB}\\{AM=CN}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△CNB（SAS），
∴BM=BN，∠ABM=∠CBN，
∴∠MBN=∠ABC=90°，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴∠BMN=45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，此类题目往往求解思路相同，本题求出BM=BN，∠MBN=∠ABC是解题的关键．