Question

12．如图，AC=BC，点O为AB的中点，AC⊥BC，∠MON=45°．
（1）求证：CN+MN=AM．
（2）如图2，若点M在AC上，点N在BC的延长线上，上结论是否成立，画图证明．

Answer 1

分析 （1）连接CO，在线段AM上截取AQ=CN，连接OQ，由O为CA、CB的垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到OA=OB=OC，又AC=BC得到∠A=∠B=45°，再根据三线合一的性质得到CO与AB垂直且CO为顶角的平分线，由∠A和∠B求出∠ACB为直角，得到∠OCB也为45°，利用SAS得到三角形AOQ与三角形CON全等，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得到OQ=ON，∠AOQ=∠CON，等量代换得到∠QON为直角，又∠MON为45°，所以∠QOM也为45°，得两角相等，然后由OQ=ON，求出的两角相等，OM为公共边，利用SAS得到三角形OQM与三角形MON全等，根据全等三角形的对应边相等得到QM=MN，由AM=AQ+QM，等量代换即可得证；
（2）在CA的延长线上截取AQ=CN，同（1）利用两次全等即可得到QM=MN，由QM=AQ+AM，等量代换得证．

解答 解：（1）连接OC，在AM上截取AQ=CN，连接OQ，
∵AC=BC，点O为AB的中点，AC⊥BC，
∴OC=OA=OB，
∵AC=BC，∴OC⊥AB，CO平分∠ACB，
∴∠A=∠B=45°，即∠ACB=90°，
∴∠OCN=45°，即∠OCN=∠A=45°，
在△AOQ和△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{AQ=CN}\\{∠A=∠OCN}\\{AO=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOQ≌△CON（SAS），
∴OQ=ON，∠AOQ=∠CON，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠AOQ+∠COQ=90°，
∴∠CON+∠COQ=90°，即∠QON=90°，
又∠MON=45°，
∴∠QOM=45°，
在△QOM和△NOM中，$\left\{\begin{array}{l}{OQ=ON}\\{∠MON=∠QOM}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△QOM≌△NOM（SAS），
∴QM=NM，
∴AM=AQ+QM=CN+MN；

（2）连接OC，延长CA到Q，使AQ=CN，连接OQ，
∵O为CA、CB的垂直平分线的交点，
∴OC=OA=OB，
∵AC=BC，∴OC⊥AB，CO平分∠ACB，
∴∠A=∠B=45°，即∠ACB=90°，
∴∠OCN=135°，即∠OCN=∠QAO=135°，
在△AOQ和△CON中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=CN}\\{∠QAO=∠NCO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOQ≌△CON（SAS），
∴OQ=ON，∠AOQ=∠CON，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠AON+∠CON=90°，
∴∠AOQ+∠AON=90°，即∠QON=90°，
又∠MON=45°，
∴∠QOM=45°，
在△QOM和△NOM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=CN}\\{∠QAO=∠NCO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△QOM≌△NOM（SAS），
∴QM=NM，
则NM=AQ+AM=CN+AM．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，线段的和、差、倍、分问题通常情况下先在较长的线段上截取一段与其中一条线段相等，然后构造全等三角形证明剩下的线段与另一条线段相等，本题的突破点是截取出AQ=CN，构造全等三角形，证明QM=NM．