Question

7．如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE交CB于P，点P为DE中点．
（1）求证：CD=BE；
（2）若DE⊥AC，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）作DF∥AB交BC于F，由等边三角形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=60°，由平行线的性质得出∠CDF=∠A=60°，∠DFC=∠ABC=60°，∠DFP=∠EBP，证出△CDF是等边三角形，得出CD=DF，由AAS证明△PDF≌△PEB，得出对应边相等DF=BE，即可得出结论；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得出AD=$\frac{1}{2}$AE，证出BP=BE，得出BP=BE=CD，设BP=x，则BE=CD=x，AD=12-x，得出方程12+x=2（12-x），解方程即可．

解答 （1）证明：作DF∥AB交BC于F，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°，
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠A=60°，∠DFC=∠ABC=60°，∠DFP=∠EBP，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD=DF，
∵点P为DE中点，
∴PD=PE，
在△PDF和△PEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFD=∠PBE}&{\;}\\{∠DPF═∠EPB}&{\;}\\{PD=PE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PDF≌△PEB（AAS），
∴DF=BE，
∴CD=BE；
（2）解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90°，
∴∠E=90°-∠A=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE，∠BPE=∠ACB-∠E=30°=∠E，
∴BP=BE，
由（1）得：CD=BE，
∴BP=BE=CD，
设BP=x，则BE=CD=x，AD=12-x，
∵AE=2AD，
∴12+x=2（12-x），
解得：x=4，
即BP的长为4．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度适中，证明三角形全等是解决问题的关键．