Question

13．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中用如图解释了二项和的乘方规律，这个图给出了（a+b）ⁿ（其中n=1，2，3，4，…）的展开式的系数规律，请根据这个规律写出（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．
（a+b）=a+b
（a+b）²=a²+2ab+b²
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³
（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
…

Answer 1

分析 观察可得（a+b）ⁿ（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）^n-1相邻两项的系数和．因此可得（a+b）⁵的各项系数分别为1、（1+4）、（4+6）、（4+6）、（4+1）、1，即：1、5、10、10、5、1，各项是按某个字母的降幂排列．

解答 解：（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵，
故答案为：a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．

点评 本题考查了整式的混合运算，还考查了数字的变化规律，从简单入手，找出规律，利用规律解决问题．