Question

9．函数y=2|x-3|与y=x-a的图象围成一个平面区域，求实数a的取值范围及这个区域的面积．

Answer 1

分析 分类讨论：x≥3，x＜3，根据函数图象有交点，可得不等式，根据解不等式，可得答案；
根据三角形面积的和差，可得答案．

解答 解：如图：
，
y=2|x-3|的图象是端点为A（3，0）的两条向上的射线，
y=x-a的图象是过P（a，0）倾斜角为45°的直线．
先求两个图象交点的横坐标：
①当x≥3时，2（x-3）=x-a，x=6-a；6-a≥3，解得a≤3；
②当x＜3时，2（3-x）=x-a，x=$\frac{6+a}{3}$，$\frac{6+a}{3}$＜3，解得a＜3，
∴y=2|x-3|与y=x-a的图象围成一个平面区域，
a＜3；
这时，交点B（6-a，6-2a），C（$\frac{6+a}{3}$，$\frac{6-2a}{3}$），
S_△ABC=S_△ABP-S_△ACP
=$\frac{1}{2}$（3-a）[（6-2a）-$\frac{6-2a}{3}$]
=$\frac{2}{3}$（3-a）²．

点评 本题考查了一次函数图象，根据题意画出函数图象是解题关键，利用函数解析式得出交点的坐标，再解不等式得出a的取值范围．