Question

14．如图，完全一样的矩形的顶点都落在平面直角坐标系中方格的格点处，按照如图所示的方式标注字母．
（1）直接写出第5个矩形的四个顶点的坐标；
（2）点（2017，1）是第1009个矩形的点A₁₀₀₉的坐标；
（3）若n为正整数，则点A_4n-2的坐标是（8n-5，3）（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）根据图形的变化可知，第5个矩形和第1个矩形的A、B、C、D所在的相对位置一样，结合图形即可得出第5个矩形的四个顶点的坐标；
（2）根据每个矩形左下角坐标的变化找出点的变化规律，由2017=1008×2+1、1008=252×4结合点的变化规律即可得出点（2017，1）是第1009个矩形的点A₁₀₀₉的坐标；
（3）由第4n-2个矩形和第2个矩形的A、B、C、D所在的相对位置一样，结合点A₂的坐标以及点的变化规律即可找出点A_4n-2的坐标．

解答 解：（1）根据图形中的变化规律可知，第5个矩形和第1个矩形的A、B、C、D所在的相对位置一样，
∴第5个矩形的四个顶点的坐标分别为：点A₅（9，1），B₅（9，3），C₅（10，3）、D₅（10，1）．
（2）第一个矩形左下角的坐标为（1，1），第二个矩形左下角的坐标为（3，1），第三个矩形左下角的坐标为（5，1），第四个矩形左下角的坐标为（7，1），…，
∴第n个矩形左下角的坐标为（2n-1，1）．
∵2017=1008×2+1，1008=252×4，
∴点（2017，1）是第1009个矩形的左下角的点A₁₀₀₉的坐标．
故答案为：1009；A₁₀₀₉．
（3）∵第4n-2个矩形和第2个矩形的A、B、C、D所在的相对位置一样，
∴点A_4n-2在矩形的左上角．
∵点A₂的坐标（3，3），（4n-2）×2-1=8n-5，
∴点A_4n-2的坐标为（8n-5，3）．
故答案为：（8n-5，3）．

点评 本题考查了坐标与图形性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是：（1）结合图形找出第5个矩形和第1个矩形的A、B、C、D所在的相对位置一样；（2）根据点的变化找出“第n个矩形左下角的坐标为（2n-1，1）”；（3）根据图形的变化找出第4n-2个矩形和第2个矩形的A、B、C、D所在的相对位置一样．