Question

【题目】对于任意一点 P 和线段 a．若过点 P 向线段 a 所在直线作垂线，若垂足落在线段 a 上，则称点 P 为线段a 的内垂点．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(-1，0)，B(2，0 ) ，C(0，2)．

（1）在点 M（1，0），N（3，2），P（-1，-3）中，是线段 AB 的内垂点的是 ；

（2）已知点 D（-3，2），E（-3，4）．在图中画出区域并用阴影表示，使区域内的每个点均为 Rt△CDE三边的内垂点；

（3）已知直线 m 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，将直线 m 沿 y 轴平移 3 个单位长度得到直线 n ． 若存在点 Q，使线段 BQ 的内垂点形成的区域恰好是直线 m 和 n 之间的区域（包括边界），直接写出点 Q 的坐标．

Answer 1

【答案】（1）M，P；（2）见详解；（3）（0.5，﹣1.5）或（3.5，1.5）

【解析】

（1）画图后根据定义可以判定；

（2）如图2所示；

（3）分两种情况：①n在m的下方，②n在m的上方，先确认m和n的解析式，n与x轴的交点为E，作BE的垂直平分线，与n的交点即是Q．

解：（1）如图1所示：PA⊥AB，垂足为A，过M作AB的垂线，垂足为M，都在线段AB上，

所以线段AB的内垂点的是：M，P；

故答案为：M，P；

（2）如图2所示，

（3）分两种情况：

①当n在m的下方时，如图3，

∵B（2，0），C（0，2）．

设BC的解析式为：y＝kx+b，则，

解得：，

∴m：y＝﹣x+2，

n：y＝﹣x﹣1，

∴E（﹣1，0），

取BE的中点P，过P作BE的垂线交n于Q，

∵P（0.5，0），

∴当x＝0.5时，y＝﹣x﹣1＝﹣1.5，

∴Q（0.5，﹣1.5）；

②当直线n在直线m的上方时，如图4，则n：y＝﹣x+5，

同理得Q（3.5，1.5）；

综上，点Q的坐标为（0.5，﹣1.5）或（3.5，1.5）．