Question

【题目】问题情境

如图 1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折 叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿 ∠Bn An C 的平分线 An Bn－1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，我们就称 ∠BAC是△ABC 的正角．

以图 2 为例，△ABC 中，∠B=70°，∠C=35°，若沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，则∠AA1B=70°.沿 A1B1 剪掉重叠部分，在余下的△B1A1C 中，由三角形的内角和定理可知∠A1B1C=35°，若沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 第二次折叠，则点 B1 与点 C 重合. 此时，我们就称∠BAC 是△ABC 的正角.

探究发现

（1）△ABC 中，∠B= 2∠C ，则经过两次折叠后，∠BAC 是不是△ABC 的正角？ （填“是”或“不是” ) .

（2）小明经过三次折叠发现∠BAC 是△ABC 的正角，则 ∠B 与∠C （不妨设 ∠B ＞∠C ) 之间的等量关系 为 ．

根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠 ∠BAC 是△ABC 的正角，则∠B 与 ∠C （不妨设∠B＞ ∠C ) 之间 的等量关系为 ．

应用提升

（3）如果一个三角形的最小角是 10°，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角均是 它的正角.

Answer 1

【答案】（1）是；（2） B 3C ； B nC；（3）10°；160°

【解析】

（1）仔细分析题意根据折叠的性质及题中“正角”的定义即可作出判断；

（2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的正角，所以第三次折叠的∠A2 B2C=∠C，由∠AB B1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得结果；

（3）因为最小角是10°是△ABC的正角，根据正角定义，则可设另两角分别为10m°，10mn°（其中m、n都是正整数），由题意得10m+10mn+10=180，所以m（n+1）=17，再根据m、n都是正整数可得m与n+1是17的整数因子，从而可以求得结果.

（1）∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，

∴∠B=∠AA1B1；

又∵∠AA1B1=∠A1B1C+∠C且∠B= 2∠C

∴2∠C=∠A1B1C+∠C，得出∠C=∠A1B1C

又∵平分线A1B2

∴∠B1 A1 B2 =∠C A1 B2

∴ B1 A1 B2≌ C A1 B2

∴将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，

∴∠BAC是不是△ABC的正角

故填：是；

（2）折叠的情况如下图：

∵根据折叠的性质知：∠B=∠AA1B1，∠A1B1C=∠A1A2B2，∠C=∠A2B2C，

∴∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；

∴∠AA1B1=∠A1B1C+∠C=∠A1A2B2+∠C=2∠C+∠C=3∠C

∴∠B=∠AA1B1=3∠C，即∠B=3∠C

故填：∠B=3∠C；

由折叠1次知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的正角；

由折叠2次知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的正角；

由折叠3次知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的正角；

故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的正角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C

故填：∠B=n∠C；

（3）由∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的正角，

因为最小角是10°是△ABC的正角，

根据正角定义,则可设另两角分别为10m°,10mn°(其中m、n都是正整数)，

由题意,得10m+10mn+10=180,所以m(n+1)=,17，

∵m、n都是正整数，所以m与n+1是17的整数因子，

∴m=1，n+1=17，

∴m=1，n=16，

∴10m=10°,10mn=160°，

∴该三角形的另外两个角的度数分别为：10°、160°.