Question

【题目】如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；

（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为，或，；（3）为定值8．

【解析】

（1）把点、坐标代入抛物线解析式即求得、的值．

（2）点可以在轴上方或下方，需分类讨论．①若点在轴下方，延长到，使构造等腰，作中点，即有，利用的三角函数值，求、的长，进而求得的坐标，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．②若点在轴上方，根据对称性，一定经过点关于轴的对称点，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．

（3）设点横坐标为，用表示直线、的解析式，把分别代入即求得点、的纵坐标，再求、的长，即得到为定值．

解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3）

解得：

∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3

（2）①若点P在x轴下方，如图1，

延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I

∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1

∴B（﹣3，）

∵A（1，0），C（0，﹣3）

，，，

中，，

∵AB＝AH，G为BH中点

∴AG⊥BH，BG＝GH

∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG

∵∠PAB＝2∠ACO

∴∠BAG＝∠ACO

中，，

中，，，

，

，，即，

设直线解析式为

解得：

直线

解得：（即点，

，；

②若点在轴上方，如图2，

在上截取，则与关于轴对称

，

设直线解析式为

解得：

直线

解得：（即点，

，．

综上所述，点的坐标为，或，．

（3）为定值，

抛物线的对称轴为：直线

，

设，

设直线解析式为

解得：

直线

当时，

设直线解析式为

解得：

直线

当时，

，为定值．