Question

【题目】已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，2)，C(，0)三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当BQ=AP时，求t的值；

(3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2﹣x+2 ；(2) t=或6时，BQ=AP；(3) 当t=﹣1时，抛物线上存在点M(1，1)；当t=3+3时，抛物线上存在点M(﹣3，﹣3)．

【解析】

（1）利用代入系数法，将3点坐标代入可求得；

（2）存在2种情况，点Q在点B的下方和上方，利用BQ=AP易求得t的值；

（3）先证△AOQ≌△BOP，得到△OPQ为等腰直角三角形，得M点必在PQ的垂直平分线上，即M在y=x上，联立点M在抛物线上的方程，解得M有2种情况，最后利用△MPQ为等边三角形的几何性质分析求解即可．

解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

∵抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，2)，C(，0)三点，

∴，

解得，

∴y=x2x+2．

(2)∵AQ⊥PB，BO⊥AP，

∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，

∵AO=BO=2，

∴△AOQ≌△BOP，

∴OQ=OP=t．

①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t．

∵BQ=AP，

∴2﹣t= (2+t)，

∴t=．

②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t．

∵BQ=AP，

∴t﹣2= (2+t)，

∴t=6．

综上所述，t=或6时，BQ=AP．

(3)当t=﹣1时，抛物线上存在点M(1，1)；当t=3+3时，抛物线上存在点M(﹣3，﹣3)．

分析如下：

∵AQ⊥BP，

∴∠QAO+∠BPO=90°，

∵∠QAO+∠AQO=90°，

∴∠AQO=∠BPO．

在△AOQ和△BOP中，

，

∴△AOQ≌△BOP，

∴OP=OQ，

∴△OPQ为等腰直角三角形，

∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上，

∵直线y=x垂直平分PQ，

∴M在y=x上，设M(x，y)，

∴，

解得或，

∴M点可能为(1，1)或(﹣3，﹣3)．

①如图3，当M的坐标为(1，1)时，作MD⊥x轴于D，

则有PD=|1﹣t|，MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2，PQ2=2t2，

∵△MPQ为等边三角形，

∴MP=PQ，

∴t2+2t﹣2=0，

∴t=﹣1+，t=﹣1﹣ (负值舍去)．

②如图4，当M的坐标为(﹣3，﹣3)时，作ME⊥x轴于E，

则有PE=3+t，ME=3，

∴MP2=32+(3+t)2=t2+6t+18，PQ2=2t2，

∵△MPQ为等边三角形，

∴MP=PQ，

∴t2﹣6t﹣18=0，

∴t=3+3，t=3﹣3 (负值舍去)．

综上所述，当t=﹣1+时，抛物线上存在点M(1，1)，或当t=3+3时，抛物线上存在点M(﹣3，﹣3)，使得△MPQ为等边三角形．