Question

【题目】已知如图，抛物线交轴于两点(点在点的左侧)，交轴于点.已知．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知直线，若直线与抛物线有且只有一个交点求的面积；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点使若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，．

【解析】

（1）先求出点的坐标，进而求出点，坐标，最后用待定系数法即可得出结论；

（2）联立直线与抛物线的解析式得出一元二次方程，判别式为0，求出点坐标，即可得出结论；

（3）Ⅰ、当点在轴上方时，先构造出，进而求出点的坐标，再联立直线与抛物线的解析式，解方程组即可得出点坐标，

Ⅱ、当点在轴下方时，判断出点和点关于轴对称，进而联立直线与抛物线的解析式，解方程组即可得出结论．

解：（1）对于抛物线，

令，则，

，

，

，

，，

，，

点，在抛物线上，

，

，

抛物线的解析式为；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为①，

直线②与抛物线有且只有一个交点，

联立①②得，，

，

△，

，

，

，

，

直线的解析式为

如图1，记直线与轴的交点为，则，

；

（3）由（2）知，，

Ⅰ、当点在轴上方时，如图2，

将线段以点为旋转中心顺时针旋转得到线段，连接，则，

在中，，

，

，

点是与抛物线的交点，

过点作，过点作于，过点作于，

，，

，，

，

，

由旋转知，，，

，

，

，

，，

，，，，

直线的解析式为③，

抛物线的解析式为④，

联立③④解得，或，

，，

Ⅱ、由Ⅰ知，点的坐标为，，，，

点与点关于轴对称，

点是直线与抛物线的交点，

，

直线的解析式为⑤，

联立④⑤，解得，或，

，，即满足条件的点的坐标为，或，．