Question

如图，P处是一个小岛，从P处发现北偏东25°方向、距离为15

2

海里的A处有一艘走私船，这时一艘缉私艇位于小岛P的北偏西20°方向的B处，而走私船位于缉私艇的南偏东50°方向，此时走私船正以每小时60海里的速度从A处向北偏东70°方向逃窜，缉私艇奉命立即以每小时60

3

海里的速度向走私船追去．
（1）求小岛P与缉私艇在B处时的距离；（提示：

3

≈1.73）
（2）缉私艇沿什么方向行驶，才能在最短的时间内追上走私船，并求出所需时间．

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：

分析：（1）△ABP中，可以求得∠P=45°，∠ABP=30°，作AC⊥BP于点C，在直角△ACP中，求得PC和AC，然后在直角△ABP中利用三角函数求得BC的长，则BP即可求得；
（2）首先求得∠BAD的度数，然后作DH⊥AB于点H，设AD=60t，则BD=60

3

t，在直角△ADH中，利用t表示出DH，在利用三角函数求得∠ABD的度数，从而求解．

解答：解：（1）作AC⊥BP于点C．
∵在直角△ACP中，∠P=20°+25°=45°，
∴PC=AC=AP×

2

2

=15

2

×

2

2

=15．
在直角△ABC中，∠ABC=50°-20°=30°，
则BC=

3

AC=15

3

，
故BP=15

3

+15=15×1.73+15=40.95（海里）；
（2）在△ABP中，∠BAP=180°-∠ABP-∠P=180°-30°-45°=105°，
则∠BAE=180°-∠BAP-25°=180°-105°-25°=50°，
则∠BAD=50°+70°=120°，
作DH⊥AB于点H．在直角△ADH中，∠DAH=180°-120°=60°，设AD=60t，则BD=60

3

t，
则DH=ADsin∠DAH=60t×

3

2

=30

3

t，AH=AD•cos∠DAH=60t×

1

2

=30t，
在直角△BDH中，sin∠DBH=

DH

BD

=

30 3 t

60 3 t

=

1

2

，
则∠DBA=30°，则∠DBG=30°+30°+20°=80°，
故缉私艇沿南偏东80°的方向行驶．
在直角△BDH中，∠DBH=30°，则BH=AB+AH=

3

DH，
即30+30t=30

3

t•

3

，
解得：t=

1

2

．
即行驶

1

2

小时能在最短的时间内追上走私船．

点评：本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键，解题中将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．