Question

【题目】已知如图，抛物线经过点、．

求、的值；

如图，点与点关于点对称，过点的直线交轴于点，交抛物线于另一点．若，求的值；

如图，在的条件下，点是轴上一点，连、分别交抛物线于点、，探究与的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)b=-2,c=-3;(2)1;(3)见解析.

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）取点Q（1，4），P（0，1），如图1中，作QR⊥y轴于R，连接PQ，则RQ=OP=1，PR=OC=OB=3，由△POR≌△BPO≌△CAO，推出BQ与y轴的交点是N，与抛物线的交点是M，利用方程组即可解决问题．
（3）结论：EF∥BM或EF与BM重合．设P（0，m），求出直线PM、PB，再利用方程组求出点E、F坐标，求出直线EF的解析式即可解决问题．

解：∵抛物线经过点、，
∴有方程组，解得，
∴，．

∵抛物线解析式为，

∴点坐标，，，，
∵点与点关于点对称
∴是等腰直角三角形，∴，
取点，，如图中，作轴于，连接，则，，
∴，
∴，，
∵，∴，
∴，∵，
∴，∵，
∴，
∴由此与轴的交点是，与抛物线的交点是，
∵，，设直线为，则，解得，
∴直线的解析式为，
∴，
由解得或，
∵，∴，
作轴于，
∵，，，
∴，，
∴，
∴
∴．

结论：或与重合．
理由：设，
∵，，
∴可得直线的解析式为，直线的解析式为，
由消去得，
，
∴或，
时，，
时，，

∴方程组的解为或，
∴，
由解得或，
∴，
设直线解析式为，
则，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线的解析式为，
∴时，，
时，直线与重合．