Question

【题目】探究题：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．

（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝　 　；

（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；

（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝　 　cm．（请直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）4cm；（2）PB＝PC，理由见解析；（3）4

【解析】

（1）根据AAS定理证明△ABP≌△PCD，可得BP＝CD；

（2）延长线段AP、DC交于点E，分别证明△DPA≌△DPE、△APB≌△EPC，根据全等三角形的性质解答；

（3）根据等腰直角三角形的性质计算．

解：（1）∵BC＝5cm，BP＝4cm，

∴PC＝1cm，

∴AB＝PC，

∵DP⊥AP，

∴∠APD＝90°，

∴∠APB+∠CPD＝90°，

∵∠APB+∠CPD＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，

∴∠BAP＝∠CPD，

在△ABP和△PCD中，

，

∴△ABP≌△PCD，

∴BP＝CD＝4cm；

（2）PB＝PC，

理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，

∵DP平分∠ADC，

∴∠ADP＝∠EDP．

∵DP⊥AP，

∴∠DPA＝∠DPE＝90°，

在△DPA和△DPE中，

，

∴△DPA≌△DPE（ASA），

∴PA＝PE．

∵AB⊥BP，CM⊥CP，

∴∠ABP＝∠ECP＝Rt∠．

在△APB和△EPC中，

，

∴△APB≌△EPC（AAS），

∴PB＝PC；

（3）∵△PDC是等腰三角形，

∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC＝45°，

又∵DP⊥AP，

∴∠APB＝45°，

∴BP＝AB＝1cm，

∴PC＝BC﹣BP＝4cm，

∴CD＝CP＝4cm，

故答案为：4．