Question

20．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B．
（1）求点A，点B的坐标及AB的长；
（2）已知M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以点M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D，设AD的长为m（m＞0），BC的长为n．
①求n随m变化的函数解析式；
②若点E（-k-1，-k²+1）在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4上，且点E不在坐标轴上，当m，n为何值时，∠PMQ的边过点E？

Answer 1

分析 （1）由坐标轴上点的特点计算即可；
（2）①判断出∠AMD=∠BCM，∠OAB=∠OBA得到△ADM∽△BMC，得出比例式即可；
②E（-k-1，-k²+1）在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4上，求出k值，然后分两种情况讨论．

解答 解：（1）令y=0，得到0=-$\frac{1}{2}$x²+x+4，
∴x₁=-1，x₂=4，
∵点A在x轴正半轴，
∴A（4，0），
令x=0，得y=4，
∴B（0，4），
在Rt△AOB中，OA=4，OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=4$\sqrt{2}$；
（2）①由（1）有，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠PMA=∠OBA+∠BCM，
∴∠AMD+∠CMD=∠ABO+∠BCM，
∴∠AMD=∠BCM，
∵∠OAB=∠OBA，
∴△ADM∽△BMC，
∴$\frac{AD}{BM}=\frac{AM}{BC}$，
由（1）有，AB=4$\sqrt{2}$，
∵M为AB中点，
∴AM=BM=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{m}{2\sqrt{2}}\frac{2\sqrt{2}}{n}$，
∴n=$\frac{8}{m}$（m＞0），
②∵E（-k-1，-k²+1）在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4上，
∴k₁=1，k₂=3，
当k=1时，-k-1=-2，-k²+1=0，
∴（-2，0）在坐标轴上，不符合题意，
当k=3时，-k-1=-4，-k²+1=-8，
∴点E（-4，-8），
设直线ME解析式为y=mx+n，
∵点M（2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=2}\\{-4m+n=-8}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{5}{3}}\\{n=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线ME的解析式为y=$\frac{5}{3}$x-$\frac{4}{3}$，
直线ME与x轴的交点为（$\frac{4}{5}$，0）与y轴的交点为（0，-$\frac{4}{3}$），
当∠PMQ的边MP过点E（-4，-8），
∴C（0，-$\frac{4}{3}$），
∴B（0，4），
∴n=4-（-$\frac{4}{3}$）=$\frac{16}{3}$，
m=$\frac{8}{n}$=$\frac{3}{2}$，
∴m=$\frac{3}{2}$，n=$\frac{16}{3}$，
当∠PMQ的边MQ过点E（-4，-8），
∴D（$\frac{4}{5}$，0），
∵A（4，0）
∴m=AD=4-$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∵n=$\frac{8}{m}$=$\frac{5}{2}$，
∴m=$\frac{16}{5}$，n=$\frac{5}{2}$，
即：m=$\frac{3}{2}$，n=$\frac{16}{3}$；m=$\frac{16}{5}$，n=$\frac{5}{2}$，

点评 此题是二次函数综合题，考查了坐标轴上点的特点，相似三角形的性质和判定，待定系数法确定函数解析式，确定点的坐标是解本题的关键，确定函数解析式是本题的难点．