Question

三角形的一个内角为30°，有两边分别为3，4．这样的三角形有几个？请说明理由．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：分类讨论

分析：由于符合要求的三角形不唯一，需分情况讨论．可按30°角的对边的长度进行分类：①若30°角的对边的长度既不是3又不是4，②若30°角的对边的长度是3，③若30°角的对边的长度是4．结合画图就可解决问题．

解答：解：符合条件的三角形共有四个．
理由如下：
①若30°角的对边的长度既不是3又不是4，
作∠MAN=30°，在AM上取一点B使得AB=4，在AN上取一点C使得AC=3，连接BC，如图1．

由SAS可得这样的三角形只有一个．
②若30°角的对边的长度是3，
作∠MAN=30°，在AM上取一点B使得AB=4，过点B作BH⊥AN于H，
∵∠A=30°，AB=4，∠AHB=90°，
∴BH=

1

2

AB=2＜3，BA＞3．
∴以点B为圆心，3为半径画弧，必与射线AN有两个交点，设交点为C，连接BC，如图2和图3．

可见这样的三角形有两个．
③若30°角的对边的长度是4，
作∠MAN=30°，在AN上取一点C使得AC=3，
∵CA＜4，
∴以点C为圆心，4为半径画弧，与射线AM只有一个交点B，连接BC，如图4．

可见这样的三角形只有一个．
综上所述：符合条件的三角形共有四个．

点评：本题考查了三角形的边角关系、30°角所对的直角边等于斜边的一半、直线与圆的位置关系、全等三角形的判定（SAS）等知识，考查了动手操作的能力，还考查了分类讨论的思想，而选择一个适当的分类标准是解决本题的关键．