Question

【题目】如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，∠BAE=∠CBD=∠DAC．

（1）求证：DEAB=BCAE；
（2）求证：∠AED+∠ADC=180°．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠BAE=∠DAC，

∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，

即∠BAC=∠EAD，

∵∠ABC=∠ABE+∠CBD，

∠AED=∠ABE+∠BAE，

∵∠CBD=∠BAE，

∴∠ABC=∠AED，

∴△ABC∽△AED，

∴ ，

∴DEAB=BCAE

（2）证明：∵△ABC∽△AED，

∴ ，即 ，

∵∠BAE=∠DAC

∴△ABE∽△ACD，

∴∠AEB=∠ADC，

∵∠AED+∠AEB=180°，

∴∠AED+∠ADC=180°

【解析】（1）根据已知条件得到∠BAC=∠EAD，根据三角形额外角的性质得到∠ABC=∠AED，推出△ABC∽△AED，根据三角形的外角的性质得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到 ，推出△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质得到∠AEB=∠ADC，等量代换即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．