Question

【题目】已知二次函数y=﹣（a+b）x2﹣2cx+a﹣b中，a、b、c是△ABC的三边．
（1）当抛物线与x轴只有一个交点时，判断△ABC是什么形状；
（2）当x=﹣ 时，该函数有最大值 ，判断△ABC是什么形状．

Answer 1

【答案】
（1）解：当抛物线与x轴只有一个交点时，△ABC是直角三角形；理由如下：

当抛物线与x轴只有一个交点时，△=0，

即（﹣2c）2﹣4×[﹣（a+b]（a﹣b）=0，

整理得c2+a2=b2，

∴△ABC是直角三角形

（2）解：△ABC是等边三角形；理由如下：

根据题意得：﹣ =﹣ ，即c= 时，

有 = ，

整理，得2b2﹣a2﹣2c2+ab=0，

将c= 代入，得a2=b2，

∵a＞0，b＞0，

∴a=b=c，

即△ABC是等边三角形

【解析】（1）由题意得出△=0，得出c2+a2=b2 ， 由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形即可；（2）由x=﹣ 时函数有最大值为 ，可知顶点的横坐标为﹣ ，纵坐标为 ，根据顶点坐标公式列方程求解即可．
【考点精析】利用二次函数的最值和抛物线与坐标轴的交点对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．