Question

如图，点A是双曲线y=

1

x

（x＞0）上一个点，连接OA，作OB⊥OA，且AO：BO=1：2．
（1）在双曲线上多次改变A点的位置，得到相应的B点，用平滑的曲线把这些B点连接起来，观察猜想这条曲线的形状，并求B点纵坐标随横坐标变化的函数解析式；
（2）过A点作y轴垂线MA，过B点作x轴垂线BN，MA与BN交于P点，BN交双曲线y=

1

x

（x＞0）于C点（C点在A点右侧），连接AC，在图2中画出示意图并证明：∠PAC=∠ABO．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）设A（a，

1

a

），B（x，y），作AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，利用△OCA∽△ODB，即可求出B点纵坐标随横坐标变化的函数解析式；
（2）设A（a，

1

a

），B（x，-

4

x

），C（x，

1

x

），可得出P点坐标为（x，

1

a

-

1

x

），证出△APC∽△BOA，即可得出∠PAC=∠ABO．

解答：解：（1）如图1，设A（a，

1

a

），B（x，y），

作AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，
∵OB⊥OA，
∴△OCA∽△ODB，
∴

OC

OD

=

OA

OB

，

AC

BD

=

OA

OB

，即

a

-y

=

1

2

，

1 a

x

=

1

2

∴

a

-y

×

1 a

x

=

1

2

×

1

2

，即y=-

4

x

．
（2）如图2，设A（a，

1

a

），B（x，-

4

x

），C（x，

1

x

），

∴P点坐标为（x，

1

a

-

1

x

）
∵AO：BO=1：2，

PC

AP

=

1 a - 1 x

x-a

=

1

ax

=

1

2

，
∴

AO

BO

=

PC

AP

，∠APC=∠BOA，
∴△APC∽△BOA，
∴∠PAC=∠ABO．

点评：本题主要考查了反比例函数的综合题，解题的关键是利用三角形相似的判定与性质求解．