Question

【题目】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜1时，它们对应的函数值互为相反数：当x≥1时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数，例如：一次函数y＝x﹣4，它的相关函数为

（1）一次函数y＝﹣x+5的相关函数为　 　．

（2）已知点A（b﹣1，4），点B坐标（b+3，4），函数y＝3x﹣2的相关函数与线段AB有且只有一个交点，求b的取值范围；

（3）当b+1≤x≤b+2时，函数y＝﹣3x+b2的相关函数的最小值为﹣3，求b的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）＜b≤3或﹣≤b＜﹣1；（3）b=或b=或b=．

【解析】

（1）根据相关函数的定义可解答；

（2）根据图1和图2所示，分A和B两个点分别是边界C和D时两种情况，列不等式组可解答；

（3）先求出相关函数，然后根据一次函数的增减性解答即可．

（1）由题意得：一次函数y=﹣x+5的相关函数为y．

故答案为：y；

（2）函数y=3x﹣2的相关函数是y，如图1和2所示：

﹣3x+2=4，x，3x﹣2=4，x=2．

∵点A（b﹣1，4），点B坐标（b+3，4），∴AB=4，AB∥x轴．

∵函数y=3x﹣2的相关函数与线段AB有且只有一个交点，且CD=24，∴或，解得：b≤3或b＜﹣1；

（3）函数y=﹣3x+b2的相关函数为y．分两种情况讨论：

①当x＜1时，y=3x-b2，k=3＞0，y随x增大而增大．

∵b+1≤x≤b+2，∴当x=b+1时，ymin=3（b+1）-b2=-3，∴b2-3b-6=0，解得：b=或b=．当b=时，x=b+1＞1，与x＜1矛盾，舍去．当b=时，x=b+1＜1，∴b=．

②当x≥1时，y=-3x+b2，k=-3＜0，y随x增大而减小．

∵b+1≤x≤b+2，∴当x=b+2时，ymin=-3（b+2）+b2=-3，∴b2-3b-3=0，解得：b=或b=．

当b=时，x=b+2＞1，成立．当b=时，x=b+2＞1，成立，∴b=或b=．

综上所述：b=或b=或b=．