Question

3．已知⊙O的直径AB=10，弦CD上的点C到AB的距离为3，点D到AB的距离为4，则圆心O到弦CD的距离是多少？

Answer 1

分析 可分点C、D在直径AB的同侧和异侧两种情况讨论，如图1，图2，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，OH⊥CD于H，连接OC，OD，作CN⊥DF于N，易证四边形CEFN是矩形，则有CN=EF，CE=NF，由题可得：OC=OD=5，CE=3，DF=4，然后运用勾股定理可求出OE、OF、CD，根据垂径定理可得到CH，然后在Rt△CHO中运用勾股定理，就可解决问题．

解答 解：①若点C、D在直径AB的同侧，
如图1，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，OH⊥CD于H，连接OC，OD，作CN⊥DF于N，

则有四边形CEFN是矩形，
∴CN=EF，CE=NF．
由题可得：OC=OD=5，CE=3，DF=4，
根据勾股定理可得：OE=4，OF=3．
在Rt△CND中，
CN=EF=4+3=7，DN=DF-NF=DF-CE=4-3=1，
根据勾股定理可得：CD=$\sqrt{{7}^{2}+{1}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
∵OH⊥CD，∴CH=DH=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△CHO中，
根据勾股定理可得：OH=$\sqrt{O{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
②若点C、D在直径AB的异侧，
如图2，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，OH⊥CD于H，连接OC，OD，作CN⊥DF，交DF的延长线于N，

则有四边形CEFN是矩形，
∴CN=EF，CE=NF．
由题可得：OC=OD=5，CE=3，DF=4，
根据勾股定理可得：OE=4，OF=3．
在Rt△CND中，
CN=EF=4+3=7，DN=DF+NF=DF+CE=4+3=7，
根据勾股定理可得：CD=$\sqrt{{7}^{2}+{7}^{2}}$=7$\sqrt{2}$．
∵OH⊥CD，∴CH=DH=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△CHO中，
根据勾股定理可得：OH=$\sqrt{O{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{7\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
综上所述：圆心O到弦CD的距离是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，运用分类讨论是解决本题的关键．