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【题目】如图①②,在平面直角坐标系xoy中,点A的坐标为(4,0),以点A为圆心,4为半径的圆与x轴交于O,B两点,OC为弦, , Px轴上的一动点,连结CP。

(1)求的度数;

(2)如图①,当CP与⊙A相切时,求PO的长;

(3)如图②,当点P在直径OB上时,CP的延长线与⊙A相交于点Q,问PO为何值时,是等腰三角形?

【答案】160°.(24.322+2

【解析】

试题(1OA=AC首先三角形OAC是个等腰三角形,因为∠AOC=60°,三角形AOC是个等边三角形,因此∠OAC=60°

2)如果PC与圆A相切,那么AC⊥PC,在直角三角形APC中,有∠PCA的度数,有A点的坐标也就有了AC的长,可根据余弦函数求出PA的长,然后由PO=PA-OA得出OP的值.

3)本题分两种情况:

O为顶点,OCOQ为腰.那么可过Cx轴的垂线,交圆于Q,此时三角形OCQ就是此类情况所说的等腰三角形;那么此时PO可在直角三角形OCP中,根据∠COA的度数,和OC即半径的长求出PO

Q为顶点,QCQD为腰,那么可做OC的垂直平分线交圆于Q,则这条线必过圆心,如果设垂直平分线交OCD的话,可在直角三角形AOQ中根据∠QAE的度数和半径的长求出Q的坐标;然后用待定系数法求出CQ所在直线的解析式,得出这条直线与x轴的交点,也就求出了PO的值.

试题解析:(1∵∠AOC=60°AO=AC

∴△AOC是等边三角形,

∴∠OAC=60°

2∵CPA相切,

∴∠ACP=90°

∴∠APC=90°-∠OAC=30°

∵A40),

∴AC=AO=4

∴PA=2AC=8

∴PO=PA-OA=8-4=4

3过点CCP1⊥OB,垂足为P1,延长CP1⊙AQ1

∵OA是半径,

OC=OQ1

∴OC=OQ1

∴△OCQ1是等腰三角形;

∵△AOC是等边三角形,

∴P1O=OA=2

AAD⊥OC,垂足为D,延长DA⊙AQ2CQ2x轴交于P2

∵A是圆心,

∴DQ2OC的垂直平分线,

∴CQ2=OQ2

∴△OCQ2是等腰三角形;

过点Q2Q2E⊥x轴于E

Rt△AQ2E中,

∵∠Q2AE=∠OAD=∠OAC=30°

∴Q2E=AQ2=2AE=2

Q2的坐标(4+2-2);

Rt△COP1中,

∵P1O=2∠AOC=60°

∴CP12

∴C点坐标(22);

设直线CQ2的关系式为y=kx+b,则

,解得

∴y=-x+2+2

y=0时,x=2+2

∴P2O=2+2

考点: 1.切线的性质;2.等腰三角形的性质;3.等边三角形的性质.

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