Question

如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，△ABC为等边三角形，∠ADC=30°，AD=2，BD=3，则CD的长为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：在CD外侧作等边△CDE，易证∠ACE=∠BCD，进而可以证明△ACE≌△BCD，可得AE=BD，在RT△ADE中根据勾股定理可以求得DE的长，即可解题．

解答：解：在CD外侧作等边△CDE，则∠ADE=90°，DE=DC，∠DCE=60°，

∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

CD=CE ∠BCD=∠ACE AB=AC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD，
∵在RT△ADE中，DE²=AE²-AD²=BD²-AD²=5，
∴DE=

5

，
∴CD=

5

，
故答案为

5

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACE≌△BCD是解题的关键．