Question

已知：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…，请你探索满足

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

＜

8

9

的正整数n的最大值是多少．

Answer 1

考点：分式的加减法

专题：规律型

分析：先把

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

化为1-

1

n+1

，再根据1-

1

n+1

＜

8

9

求解即可．

解答：解：∵由题意可得

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

，
∴当1-

1

n+1

＜

8

9

，即

1

n+1

＞

1

9

，
∴正整数n的最大值是7．

点评：本题主要考查了分式的加减法，解题的关键是能利用拆项的方法化简式子．