Question

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，m+1），B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），m＞0，1＜a＜3，点P（n-m，n）是四边形ABCD内的一点，且△PAD与△PBC的面积相等，求n-m的值．

Answer 1

分析 过点P作EF平行于x轴，交AD于点E、BC于点F，由点A、B、C、D、P的坐标可得出AB∥x轴、AD∥y轴、E（1，n），进而可得出AD、PE的长度，根据三角形的面积公式可求出S_△PAD=$\frac{1}{2}$（a-1）（n-m-1）、S_△PBC=PF，由点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，进而可得出点F的坐标以及PF的长度，再根据△PAD与△PBC的面积相等可得出关于n-m的一元一次方程，解之即可得出结论．

解答 解：过点P作EF平行于x轴，交AD于点E、交BC于点F，如图所示．
∵A（1，m+1），B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），P（n-m，n），
∴AB∥x轴，AD∥y轴，E（1，n），
∴PE=n-m-1，AD=a-1，PE⊥AD，
∴S_△PAD=$\frac{1}{2}$AD•PE=$\frac{1}{2}$（a-1）（n-m-1）．
设△PFC的高为h₁，△PFB的高为h₂，
S_△PBC=S_△PFC+S_△PFB=$\frac{1}{2}$PQ•h₁+$\frac{1}{2}$PF•h₂=$\frac{1}{2}$PF•（h₁+h₂）．
∵h₁+h₂=m+3-（m+1）=2，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PF•（h₁+h₂）=PF．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B（a，m+1）、C（3，m+3）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{ak+b=m+1}\\{3k+b=m+3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3-a}}\\{b=m+3-\frac{6}{3-a}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{2}{3-a}$x+m+3-$\frac{6}{3-a}$．
当y=$\frac{2}{3-a}$x+m+3-$\frac{6}{3-a}$=n时，x=$\frac{（n-m-3）（3-a）}{2}$+3，
∴点F（$\frac{（n-m-3）（3-a）}{2}$+3，n），
∴PF=$\frac{（n-m-3）（3-a）}{2}$+3-（n-m）=$\frac{（n-m-3）（1-a）}{2}$．
∵S_△PAD=S_△PBC，
∴$\frac{1}{2}$（a-1）（n-m-1）=$\frac{（n-m-3）（1-a）}{2}$．
∵1＜a＜3，
∴a-1≠0，
∴-（n-m-3）=n-m-1，
解得：n-m=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了坐标与图形的性质、三角形的面积、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据△PAD与△PBC的面积相等找出关于n-m的一元一次方程是解题的关键．