Question

9．求证：对任意两两不等的三个数a、b、c，都有$\frac{（a+b-c）^{2}}{（a-c）（b-c）}$+$\frac{（b+c-a）^{2}}{（b-a）（c-a）}$+$\frac{（c+a-b）^{2}}{（c-b）（a-b）}$是常数．

Answer 1

分析 先设a+b-c=x①，b+c-a=y②，c+a-b=z③，从而由①-②，②-③，③-①，得出a-c=$\frac{x-y}{2}$，b-a=$\frac{y-z}{2}$，c-b=$\frac{z-x}{2}$，代入原式，再通分，分子分解因式即可．

解答 证明：设a+b-c=x①，b+c-a=y②，c+a-b=z③，
①-②得，a-c=$\frac{x-y}{2}$，
②-③得，b-a=$\frac{y-z}{2}$，
③-①得，c-b=$\frac{z-x}{2}$，
∴$\frac{（a+b-c）^{2}}{（a-c）（b-c）}$+$\frac{（b+c-a）^{2}}{（b-a）（c-a）}$+$\frac{（c+a-b）^{2}}{（c-b）（a-b）}$
=$\frac{4{x}^{2}}{（x-y）（x-z）}+\frac{4{y}^{2}}{（y-z）（y-x）}+\frac{4{x}^{2}}{（z-x）（z-y）}$
=$\frac{4[{x}^{2}（z-y）+{y}^{2}（x-z）+{z}^{2}（y-x）]}{（x-y）（y-z）（z-x）}$
=$\frac{4[{x}^{2}（z-y）+x（{y}^{2}-{z}^{2}）+yz（z-y）]}{（x-y）（y-z）（z-x）}$
=$\frac{4（z-y）（{x}^{2}-xy-xz+yz）}{（x-y）（y-z）（z-x）}$
=$\frac{4（x-y）（y-z）（z-x）}{（x-y）（y-z）（z-x）}$
=4．
即：对任意两两不等的三个数a、b、c，都有$\frac{（a+b-c）^{2}}{（a-c）（b-c）}$+$\frac{（b+c-a）^{2}}{（b-a）（c-a）}$+$\frac{（c+a-b）^{2}}{（c-b）（a-b）}$是常数．

点评 此题是分式的等式证明，主要考查了换元法，通分，分解因式，通过对较为复杂的分式整体换元，达到了使使分式形式更为简单的目的，从而易于对分式变形．