Question

已知：如图，直线l：y=-x-1，一组可由平移变换得到的抛物线的顶点为B₁，B₂、B₃、…B_n（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…A_n+1（x_n+1，0）（n为正整数），其中x₁=0，x₂=2，则x₃=

 

；B₈的坐标为

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：规律型

分析：根据抛物线的对称性得B₁的横坐标为1，利用一次函数图象上点的坐标特征得B₁的坐标为（1，-2），设顶点为B₁的抛物线解析式为y=a（x-1）²-2，把A₁（0，0）代入可得到a=2，由于所有抛物线都是经过平移得到，则设顶点为B₂的抛物线解析式为y=2（x-m）²+n，再把A₂（2，0）代入得2（2-m）²+n=0，且n=-m-1，解方程组得到m=

7

2

，n=-

9

2

，则顶点为B₂的抛物线解析式为y=2（x-

7

2

）²-

9

2

，然后令y=0得2（x-

7

2

）²-

9

2

=0，解得x=2或5，于是得到A₃（5，0），即x₃=5；利用同样的方法可得到A₄（9，0），由此可得到后面的点比前面点的横坐标增加的数为角标数，于是可得A₅（14，0），A₆（20，0），A₇（27，0），A₈（35，0），A₉（44，0），利用顶点为B₈的抛物线经过A₈（35，0），A₉（44，0），根据对称性先计算出B₈的横坐标为39.5，再利用一次函数图象上点的坐标特征计算出它的纵坐标．

解答：解：∵A₁（0，0），A₂（2，0），
∴B₁的横坐标为1，
当x=1时，y=-x-1=-2，则B₁的坐标为（1，-2），
设顶点为B₁的抛物线解析式为y=a（x-1）²-2，
把A₁（0，0）代入得a-2=0，解得a=2，
∴顶点为B₁的抛物线解析式为y=2（x-1）²-2，
设顶点为B₂的抛物线解析式为y=2（x-m）²+n，
把A₂（2，0）代入得2（2-m）²+n=0，
∵n=-m-1，
∴2（2-m）²-m-1=0，
整理得2m²-9m+7=0，解得m₁=

7

2

，m₂=1（舍去），
∴n=-

7

2

-1=-

9

2

∴顶点为B₂的抛物线解析式为y=2（x-

7

2

）²-

9

2

，
当y=0时，2（x-

7

2

）²-

9

2

=0，解得x=2或5，
∴A₃（5，0），即x₃=5；
设顶点为B₃的抛物线解析式为y=2（x-t）²+k，
把A₃（5，0）代入得2（5-t）²+k=0，
∵k=-t-1，
∴2（5-t）²-t-1=0，
整理得2t²-21t+49=0，解得t₁=

7

2

（舍去），t₂=7，
∴k=-7-1=-8，
∴顶点为B₂的抛物线解析式为y=2（x-7）²-8，
当y=0时，2（x-

7

2

）²-

9

2

=0，解得x=5或9，
∴A₄（9，0），
∴A₅（14，0），A₆（20，0），A₇（27，0），A₈（35，0），A₉（44，0），
∵顶点为B₈的抛物线经过A₈（35，0），A₉（44，0），
∴B₈的横坐标为

35+44

2

=39.5，
当x=39.5时，y=-x-1=-40.5，
∴B₈的坐标为（39.5，-40.5）．
故答案为5；（39.5，-40.5）．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了待定系数法求二次函数解析式．