Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点.点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接.

（1）求点、、的坐标；

（2）求证：四边形是平行四边形；

（3）如图2，过顶点作轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴，点为垂足，使得与相似（不含全等）.

①求出一个满足以上条件的点的横坐标；

②直接回答这样的点共有几个？

Answer 1

【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）①点P的横坐标为，，，②点P共有3个.

【解析】

(1)令y=0，可得关于x的方程，解方程求得x的值即可求得A、B两点的坐标，对解析式配方可得顶点D的坐标；

(2)由，CO⊥AF，可得OF=OA=1，如图2，易得，由此可得，继而证明为等边三角形，推导可得，再由，，可得，问题得证；

(3)①设点的坐标为，分三种情况：点在点左侧，点在点右侧，点在之间，分别讨论即可得；

②由①的结果即可得.

(1)令，

解得或，

故，，

配方得，故；

(2)∵，CO⊥AF，

∴OF=OA=1，

如图，DD1⊥轴，∴DD1//CO，

∴，

∴，

即，

∴，

∴CF==2，

∴，

即为等边三角形，

∴∠AFC=∠ACF=60°，

∵∠ECF=∠ACF，

∴，

∴，

∵CF：DF=OF：FD1=1：2，

∴DF=4，∴CD=6，

又∵，，

∴，

∴四边形是平行四边形；

(3)①设点的坐标为，

(ⅰ)当点在点左侧时，

因为与相似，

则1)，

即，

∴(舍)，x2=-11；

2)，

即，

∴(舍)，；

(ⅱ)当点在点右侧时，

因为与相似，

则3)，

即，

∴(舍)，(舍)；

4)，

即，

∴(舍)，(舍)；

(ⅲ)当点在之间时，

∵与相似，

则5)，

即，

∴(舍)，(舍)；

6)，

即，

∴(舍)，；

综上所述，点的横坐标为，，；

②由①可得这样的点P共有3个.