Question

已知顶点C为抛物线y=

1

2

x²-

3

2

x-2与x轴的两个交点A、B（A点在B点的左边）和抛物线上的一点P（在对称轴的右侧）构成Rt△，则点P的坐标为

 

；现将题中的抛物线向左或向右平移t个单位长度（0＜t＜

5

2

），点P、C的对应点分别记为P′、C′，当依次首尾相连接A、B、P′、C′四点构成的多边形周长最小时，t的值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：点P在以AB为直径的圆与抛物线的交点；左右平移时，使A′D+DB″最短即可，那么作出点C′关于x轴对称点的坐标为C″，得到直线P″C″的解析式，然后把A点的坐标代入即可．

解答：解：①∵y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x+1）（x-4），
∴A（-1，0）、B（4，0）．
如图1，以AB为直径作圆M，则抛物线与圆的交点即为所求的点P，
∴M（

3

2

，0），⊙M的半径=

5

2

．

∴OP=

MP2-OM2

=2，
又∵P是抛物线与y轴的交点，
∴点（0，-2）符合题意，
根据抛物线与圆的对称性知，点（3，-2）也符合题意．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，-2）和（3，-2）．

②抛物线向左或向右平移，因为AB、P′C′是定值，所以A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短，只要AC′+BP′最小；
第一种情况：抛物线向右平移，AC′+BP′＞AC+BP，
第二种情况：向左平移，如图2所示，由（2）可知P（3，-2），

又∵C（

3

2

，-

25

8

）
∴C'（

3

2

-t，-

25

8

），P'（3-t，-2），
∵AB=5，
∴P″（-2-t，-2），
要使AC′+BP′最短，只要AC′+AP″最短即可，
点C′关于x轴的对称点C″（

3

2

-t，

25

8

），
设直线P″C″的解析式为：y=kx+b，

-2=(-2-t)k+b 25 8 =( 3 2 -t)k+b

，
解得

k= 41 28 b= 41 28 t+ 13 14

∴直线y=

41

28

x+

41

18

t+

13

14

，
点A在直线上，
∴-

41

28

+

41

28

t+

13

14

=0
∴t=

15

41

．
故将抛物线向左平移

15

41

个单位连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短．
故答案是：（0，-2）和（3，-2）；

15

41

．

点评：本题考查了抛物线的顶点坐标，二次函数的对称性，以及距离之和最小的问题，涉及考点较多，有一定的难度．