Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F．

（1）求a、c的值；

（2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）a＝，c＝2；（2）△OEF为等腰三角形，理由见解析

【解析】

（1）根据△ABC为等腰直角三角形可以得出 OA＝OB＝OC＝c，从而得出S△ABC＝,据此求出c的值，然后进一步得出C点坐标，接着将其代入解析式求出的值即可；

（2）设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位，则点F（m，m+2），则新抛物线的表达式为：y＝(xm)2+m+2，将点C的坐标代入上式进一步分析证明即可．

（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∴OA＝OB＝OC＝c，

故S△ABC＝,

解得：或（舍去），

故点C的坐标分别为：（2，0），

将点C的坐标代入y＝x2+2并解得：

，

故，c＝2；

（2）根据题意，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位，

则点F（m，m+2），

∴新抛物线的表达式为：y＝(xm)2+m+2，

将点C的坐标代入上式得：0＝(2m)2+m+2

解得：m＝0（舍去）或6，

则函数的对称轴为x＝m＝6，

∴点F坐标为：（6，8），则点E（10，0），而点O（0，0），

则OF2＝，OE2＝100，EF2＝，

即OF＝OE，

∴△OEF为等腰三角形．