Question

9．已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），C（m，6）为反比例函数$y=\frac{{12\sqrt{3}}}{x}$图象上一点．将△AOB绕B点旋转至△A′O′B处．
（1）求m的值；
（2）若O′落在OC上，连接AA′交OC与D点．①求证：四边形ACA′O′为平行四边形； ②求CD的长度；
（3）直接写出当AO′最短和最长时A′点的坐标．

Answer 1

分析 （1）只需把点C的坐标代入反比例函数的解析式，就可解决问题；
（2）①过点C作CH⊥y轴与H，如图1，易证AC=OA=O′A′，要证四边形ACA′O′为平行四边形，只需证AC∥O′A′，只需证∠ACO=∠A′O′C即可；
②由平行四边形ACA′O′可得CD=$\frac{1}{2}$CO′，要求CD，只需求CO′，只需求出OC及OO′即可；
（3）根据两点之间线段最短可知：当点O′在线段AB上时AO′最短（如图2），当点O′在线段AB的延长线上时AO′最长（如图3）；过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，易证△BNO′∽△BOA，△A′MO′∽△O′NB，然后只需运用相似三角形的性质即可解决问题．

解答 解：（1）∵C（m，6）为反比例函数$y=\frac{{12\sqrt{3}}}{x}$图象上一点，
∴m=$\frac{12\sqrt{3}}{6}$=2$\sqrt{3}$；

（2）①过点C作CH⊥y轴与H，如图1．

∵点C的坐标为（2$\sqrt{3}$，6），
∴CH=2$\sqrt{3}$，OH=6，
∴tan∠COH=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AC=$\sqrt{（6-4）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
∴∠COH=30°，OA=AC，
∴∠BOO′=60°，∠ACO=∠AOC=30°．
∵BO′=BO，
∴∠BO′O=∠BOO′=60°．
∵∠A′O′B=∠AOB=90°，
∴∠CO′A′=30°，
∴∠ACO=∠CO′A′，
∴AC∥O′A′．
又∵O′A′=OA=AC，
∴四边形ACA′O′为平行四边形； 
②∵BO′=BO，∠BOO′=60°，
∴△BOB′是等边三角形，
∴OO′=OB=2．
∵∠CHO=90°，CH=2$\sqrt{3}$，OH=6，
∴OC=4$\sqrt{3}$，
∴CO′=OC-OO′=4$\sqrt{3}$-2．
∵四边形ACA′O′为平行四边形，
∴CD=O′D=$\frac{1}{2}$CO′=2$\sqrt{3}$-1；
（3）当AO′最短时A′点的坐标（2+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，$\frac{8\sqrt{5}}{5}$），当AO′最长时A′点的坐标（2-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$）．
提示：①当点O′在线段AB上时，AO′最短，
过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，如图2．

∵O′N∥OA，
∴△BNO′∽△BOA，
∴$\frac{BN}{BO}$=$\frac{O′N}{OA}$=$\frac{BO′}{BA}$，
∴$\frac{BN}{2}$=$\frac{O′N}{4}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴BN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，O′N=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∵∠A′MO′=∠A′O′B=∠O′NB=90°，
∴∠MA′O′=∠NO′B，
∴△A′MO′∽△O′NB，
∴$\frac{A′M}{O′N}=\frac{O′M}{BN}=\frac{O′A′}{O′B}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴A′M=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，O′M=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴A′（2-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）即（2+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，$\frac{8\sqrt{5}}{5}$）；
②当点O′在线段AB延长线上时，AO′最长，
过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，如图3．

同理可得：A′（2-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$）．

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，利用平行四边形的对角线互相平分是解决第（2）②小题的关键，构造K型相似是解决第（3）小题的关键．