Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是DC上的一动点，过点作EF⊥AE，交BC于点F，连结AF.

（1）证明：△ADE∽△ECF；

（2）若△ADE的周长与△ECF的周长之比为4：3，求BF的长.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）6.5.

【解析】

（1）根据正方形的性质证明∠FEC =∠DAE，即可求解；

（2）根据周长比得到相似比，故，求出FC，即可求解.

解： (1)∵四边形ABCD是正方形

∴∠C =∠D=90°, AD=DC=8,

∵EF⊥AC，

∴∠AEF=90°,

∴∠AED +∠FED =90°

在Rt△ADE中，∠DAE+∠AED =90°

∴∠FEC =∠DAE

∴ △DAE∽△FEC

(2) ∵△DAE∽△FEC

∴

∵△ADE的周长与△ECF的周长之比为4：3

∴△ADE的边长与△ECF的边长之比为4：3

即

∵AD =8, ∴EC=6

∴DE=8-6=2

∴

∴FC =1.5

∴DF =8-1.5=6.5