Question

5．如图，AC⊥BC于点C，BC=3，CA=4，⊙O与直线AB，BC，CA都相切，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、F、E；由勾股定理可得：BF=BE，AF=AD，CD=CE；可用DC分别表示出BE、BF的长，根据BF=BE，得出CD的表达式；连接OD、OE；易证得四边形ODCE是正方形，即OE=OD=CD，由此可求出⊙O的半径．

解答 解：设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、F、E；连接OD、OE；
∵AC、BE是⊙O的切线，
∴∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°；
∴四边形ODCE是矩形；
∵OD=OE，
∴矩形ODCE是正方形；
即OE=OD=CD；
设CD=CE=x，则AD=AF=4-x；
连接OB，OF，
由勾股定理得：BF²=OB²-OF²，BE²=OB²-OE²，
∵OB=OB，OF=OE，
∴BF=BE，
∵AC⊥BC于点C，BC=3，CA=4，
∴AB=5，
则BA+AF=BC+CE，5+4-x=3+x，
即2x=6，
解得：x=3，即⊙O的半径为3．

点评 此题主要考查了正方形性质和判定和勾股定理的应用，正确利用切线长定理是解题关键．