Question

16．如图，平面直角坐标系中，已知点A（a-b，2$\sqrt{3}$），B（a+b，0），AB=4，且$\sqrt{a-3b}$+（a+b-4）²=0，C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰△ACD，使AD=AC，∠CAD=∠OAB，直线DB交y轴于点P．
（1）求证：AO=AB；
（2）求证：∠AOC=∠ABD；
（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？（提示：在直角三角形中，若两直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²）

Answer 1

分析 （1）根据算术平方根和平方的非负性质即可求得a、b的值，进而求得A，B点坐标，求得OA，AB长度即可；
（2）易证∠OAC=∠BAD，即可证明△OAC≌△BAD，根据全等三角形的性质，可得对应角相等；
（3）点P在y轴上的位置不发生改变，先判定△AOB是等边三角形，易证∠OBP=60°，根据OB长度固定和∠OPB=30°，即可求得OP的长为定值．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-3b}$+（a+b-4）²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3b=0}\\{a+b-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴A（2，2$\sqrt{3}$），B（4，0），
∴AO=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
又∵AB=4，
∴AO=AB；

（2）∵∠CAD=∠OAB，
∴∠CAD+∠BAC=∠OAB+∠BAC，
即∠OAC=∠BAD，
在△OAC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=AB}\\{∠OAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△OAC≌△BAD（SAS），
∴∠AOC=∠ABD；

（3）点P在y轴上的位置不发生改变．
证明：由（1）可得，AB=BO=AO=4，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
由（2）知△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOB=60°，
∴∠OBP=60°，
∵∠POB=90°，
∴∠OPB=30°，
∴Rt△BOP中，BP=2OB=8，
∴OP=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，即OP长度不变，
∴点P在y轴上的位置不发生改变．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质以及全等三角形对应边相等的性质的运用，本题中熟知全等三角形的判定定理，判定△OAC≌△BAD是解题的关键．