【题目】如图,□ABCD的对角线交于点O,点E在边BC的延长线上,且OE=OB,连接DE.
(1)求证:△BDE是直角三角形;
(2)如果OE⊥CD,试判断△BDE与△DCE是否相似,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)相似,理由见解析.
【解析】试题分析:(1)由平行四边形ABCD 对角线互相平分、已知条件OE=OB以及等边对等角推知∠BED=∠OEB+∠OED=90°,则DE⊥BE,即△BDE是直角三角形;
(2)利用两角法证得△BDE与△DCE相似.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,
∵OE=OB, ∴OE=OD,
∴∠OBE=∠OEB,∠ODE=∠OED,
∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°,
∴∠BED=∠OEB+∠OED=90°,
∴DE⊥BE,即△BDE是直角三角形;
(2)△BDE与△DCE相似.
理由如下:
∵OE⊥CD,
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠CEO=∠CDE,
∵∠OBE=∠OEB,
∴∠DBE=∠CDE,
∵∠BED=∠DEC=90°,
∴△BDE∽△DCE.
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【题目】根据表格估计一元二次方程x2+2x﹣4=0的一个解的范围在( )
x | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
x2+2x﹣4 | ﹣5 | ﹣4 | ﹣1 | 4 | 11 |
A.﹣1<x<0
B.0<x<1
C.1<x<2
D.2<x<3
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【题目】如图,在△ABC中,点D为∠ABC的平分线BD上一点,连接AD,过点D作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F.
(1)如图1,若AD⊥BD于点D,∠BEF=130°,求∠BAD的度数;
(2)如图2,若∠ABC=α,∠BDA=β,求∠FAD+∠C的度数(用含α和β的代数式表示).
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=8,CB=6,动点P从C出发沿CA方向,以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动,到达A点后立即以原来速度沿AC返回;同时动点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长度向点B匀速运动,当Q到达B时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q运动的时间为t秒(t>0).
(1)当t为何值时,PQ∥CB?
(2)在点P从C向A运动的过程中,在CB上是否存在点E使△CEP与△PQA全等?若存在,求出CE的长;若不存在,请说明理由;
(3)伴随着P、Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D,交折线QB﹣BC﹣CP于点F.当DF经过点C时,求出t的值.
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【题目】下列事件为必然事件的是( ).
A.画一个四边形,其内角为180°
B.用长度分别是4,6,9的三条线段能围成一个三角形
C.NBA球员库里罚篮两罚全中
D.在200个白球中放入1个红球,摇匀后随机摸出1球就摸出了红球
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【题目】若一个正整数能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”(如3=22-12,16=52-32,则3和16是智慧数).已知按从小到大的顺序构成如下数列:3,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,19,20,21,23,24,25,…则第2 013个“智慧数”是______.
【答案】2 687
【解析】解析:观察数的变化规律,可知全部“智慧数”从小到大可按每三个数分一组,从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数,归纳可得,第n组的第一个数为4n(n≥2).因为2 013÷3=671,所以第2 013个“智慧数”是第671组中的第3个数,即为4×671+3=2 687.
点睛:找规律题需要记忆常见数列
1,2,3,4……n
1,3,5,7……2n-1
2,4,6,8……2n
2,4,8,16,32……
1,4,9,16,25……
2,6,12,20……n(n+1)
一般题目中的数列是利用常见数列变形而来,其中后一项比前一项多一个常数,是等差数列,列举找规律.后一项是前一项的固定倍数,则是等比数列,列举找规律.
【题型】填空题
【结束】
19
【题目】如图,郑某把一块边长为a m的正方形的土地租给李某种植,他对李某说:“我把你这块地的一边减少5 m,另一边增加5 m,继续租给你,你也没有吃亏,你看如何”.李某一听,觉得自己好像没有吃亏,就答应了.同学们,你们觉得李某有没有吃亏?请说明理由.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,过点A(﹣,0)的两条直线分别交y轴于B、C两点,且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根
(1)求线段BC的长度;
(2)试问:直线AC与直线AB是否垂直?请说明理由;
(3)若点D在直线AC上,且DB=DC,求点D的坐标;
(4)在(3)的条件下,直线BD上是否存在点P,使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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