Question

18．如图，∠COD在∠AOB的内部绕点O进行旋转，∠AOD+∠BOC=110°，∠AOC+∠BOD=50°，OE，OF分别是∠AOC与∠BOD的平分线．
（1）求∠AOB的度数；
（2）随着∠COD在∠AOB内旋转，试判断∠EOF的度数是否会发生变化，若不发生变化，求出∠EOF的度数；若发生变化，说明理由；
（3）若∠COD在∠AOB的外部绕点O进行旋转，当点A，O，D在同一直线上时，求∠EOF的度数．

Answer 1

分析 （1）设∠AOC=α，∠COD=β，∠BOD=γ；根据题意，结合图形，列出关于α、β、γ的方程，求出β，进而求出α+β+γ的值，即可解决问题．
（2）运用（1）中的结论，结合图形，求出∠EOF的度数，即可解决问题．
（3）运用角平分线的定义，分别求出∠COE、∠DOF的度数，即可解决问题．

解答 解：（1）如图1，设∠AOC=α，∠COD=β，∠BOD=γ；
∵∠AOD+∠BOC=110°，∠AOC+∠BOD=50°，
∴α+2β+γ=110°①，α+γ=50°②，
由①-②得：2β=60°，β=30°，
∴α+β+γ=80°，
即∠AOB的度数为80°．
（2）∠EOF的度数不会发生，为定值55°；证明如下：
如图1，∠EOF=$\frac{1}{2}α$$+\frac{1}{2}γ$+β=$\frac{1}{2}$（α+γ）+β，
由（1）知：α+γ=50°，β=30°，
∴∠EOF=55°．
（3）如图2，∵∠COD=30°，∠AOB=80°，
∴∠AOC=150°，∠BOD=100°；
∵OE，OF分别是∠AOC与∠BOD的平分线，
∴∠COE=75°，∠DOF=50°，
∴∠COF=50°-30°=20°，
∴∠EOF=55°．

点评 该题主要考查了角的计算、角平分线的定义及其应用问题．解题的方法是观察图形，找出图形中隐含的不变元素；解题的关键是设出参数，灵活运用角平分线的定义来列式、推理、判断、解答．