Question

3．如图（1）所示，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，E是AC上一点，过A作AG⊥BE，垂足为G，AG交BD于F；
（1）试证明：OE=OF
（2）对于上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥BE交BE的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，如图（2）所示，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由；
（3）如图（3），正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与点B或点C重合），分别过点B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为点B′、C′、D′．求：BB′+CC′+DD′的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由同角的余角相等，可得∠EBD=∠GAE，由正方形的性质知，AO=BO，∠AOB=∠BOE，则ASA证得△AFO≌△BEO，可得OE=OF；
（2）思路与（1）相同，易得△AFO≌△BEO，可得OE=OF；
（3）找到S_{四边形BCDA}=S_△ABP+S_△ADP+S_△DPC的等量关系，并且根据本等量关系计算得BB′+CC′+DD′=$\frac{2}{AP}$，根据AP的范围计算BB′+CC′+DD′的最小值和最大值．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中AO=BO，∠AOB=∠BOE，
又∵AG⊥BE，
∴∠GAE+∠BEA=90°，∠EBD+∠AEB=90°．
∴∠EBD=∠GAE．
在△AOF和△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠BOE}\\{AO=BO}\\{∠OAF=∠OBE}\end{array}\right.$
∴△AOF≌△BOE（ASA）．
∴OE=OF．
（2）OE=OF仍成立．
证明：在正方形ABCD中AO=BO，∠AOB=∠BOE，
又∵AG⊥BE，
∴∠GAE+∠BEA=90°，∠EBD+∠AEB=90°．
∴∠EBD=∠GAE．
在△AOF和△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠BOE}\\{AO=BO}\\{∠OAF=∠OBE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△BOE（ASA）．
∴OE=OF．
（3）解：如图，

∵S_△DPC=S_△APC=$\frac{1}{2}$AP•CC′，
得S_{四边形BCDA}=S_△ABP+S_△ADP+S_△DPC
=$\frac{1}{2}$AP（BB′+DD′+CC′），
于是BB′+CC′+DD′=$\frac{2}{AP}$．
又∵1≤AP≤$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$≤BB′+CC′+DD′≤2，
∴BB′+CC′+DD′的最小值为$\sqrt{2}$，最大值为2．

点评 此题考查四边形的综合题，要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，正确利用勾股定理，三角形的面积解决问题．