Question

15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，n），以点B为直角顶点，点C在第二象限内，作等腰直角△ABC．
（1）求点C的坐标（用字母n表示）（提示：过点C作y轴的垂线）
（2）如果△ABC的面积为5.5，求n的值；
（3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在一点M，使以点M、A、B为顶点组成的三角形与△ABC全等？如果存在画出符合要求的图形，并直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）证明△ABO≌△BCH，得出CH=OB=n，BH=AO=2，即可得出结果；
（2）根据题意列出方程，解方程即可；
（3）分情况讨论：当B为直角顶点时，作M₁⊥y轴于E；
当A为直角顶点时，分两种情况：①M₂在第二象限时，作M₂F⊥x轴于F；②M₃在第四象限时，作M₄G⊥x轴于G；根据（1）的结果容易求出M的坐标．

解答 解：（1）过点C作y轴的垂线CH，垂足为H，如图所示：
则∠CHB=90°．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
又∵∠1+∠ABC=∠2+∠CHB，
∴∠1=∠2．
在△ABO和△BCH中，$\left\{\begin{array}{l}∠BHC=∠AOB\\∠1=∠2\\ AB=BC\end{array}\right.$
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH=OB=n，BH=AO=2，
点C的坐标是（-n，n+2）；
（2）∵S_△ABC=S_梯形HCAO-S_△CHB-S_△ABO，∴$5.5=\frac{1}{2}{（{n+2}）^2}-2n$，解得：$n=\sqrt{7}$（负值已舍），
（3）存在；如图所示：根据题意得M只能为锐角顶点；
当B为直角顶点时，作M₁⊥y轴于E，
由（1）得，EM₁=OB=$\sqrt{7}$，BE=OA=2，
∴OE=$\sqrt{7}$-2，
∴M₁（$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$-2）；
当A为直角顶点时，分两种情况：
①M₂在第二象限时，作M₂F⊥x轴于F，
由（1）得：M₂F=2，AF=$\sqrt{7}$，
∴OF=$\sqrt{7}$+2，
∴M₂（-$\sqrt{7}$-2，2）；
②M₃在第四象限时，作M₄G⊥x轴于G，
由（1）得：M₃G=2，AG=$\sqrt{7}$，
∴OG=$\sqrt{7}$-2，∴M₄（$\sqrt{7}$-2，-2）；
综上所述：点M的坐标为${M_1}（{\sqrt{7}，\sqrt{7}-2}）$；${M_2}（{-\sqrt{7}-2，2}）$；${M_3}（{\sqrt{7}-2，-2}）$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形与坐标特征；通过证明三角形全等得出对应边性质是解决问题的关键；要特别注意分类讨论，避免漏解．