Question

19．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别相交于点E、F，求证：四边形BEDF是菱形．

Answer 1

分析 由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD∥BC，OB=OD，易证得△BEO≌△DFO，可得OE=OF，即可证得四边形BEDF是平行四边形，又由EF⊥BD，即可证得四边形BEDF是菱形．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BO=DO，
∴∠BEO=∠DFO，
在△BEO和△DFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEO=∠DFO}\\{∠BOE=∠DOF}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△BEO≌△DFO（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定以及全等三角形的判定与性质，关键是注意掌握菱形及平行四边形的判定定理．