Question

【题目】如图，四边形ABCD中，MA=MC，MB=MD，以AB为直径的O过点M且与DC延长线相切于点E．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB=4，求的长（结果请保留π）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：(1)、首先根据MA=MC，MB=MD得出四边形为平行四边形，然后根据直径的性质得出∠AMB=90°，从而得出菱形；(2)、作CH⊥AB于点H，连接OE，根据菱形的性质得出∠BOM的度数，然后根据弧长的计算公式得出答案．

详解：（1）∵MA=MC，MB=MD， ∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB是⊙O的直径，且⊙O经过点M， ∴∠AMB=90°，即AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）如图，作CH⊥AB于点H，连接OE，

∵四边形ABCD是菱形，且AB=4， ∴DE∥AB，BC=AB=4，OA=OB=OE=2，

∵⊙O与DC相切于点E， ∴OE⊥DC， 则CH=OE=2，

在Rt△BCH中，由BC=2CH知∠CBH=30°， ∴∠OBM=∠CBH=15°， ∵OB=OM=2，

∴∠BOM=150°， 则的长为=．