Question

13．如图，点B，C，D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，BD=4$\sqrt{3}$，则由弦CD，BD与弧BC所围成的阴影部分的面积是$\frac{8}{3}$π．（结果保留π）

Answer 1

分析 连接CO，由角的等量关系可以证得∠ACO=90°，由AC∥BD得到∠BEO=∠ACO=90°，在Rt△BEO中解得OB，再证明△CDE≌△OBE，阴影部分面积等于S_扇形OBC．

解答 证明：连接CO，
∵∠CDB=∠OBD=30°，
∴∠BOC=60°，
∵AC∥BD，
∴∠A=∠OBD=30°，
∴∠ACO=90°，
∴∠BEO=∠ACO=90°．
∴DE=BE=$\frac{1}{2}$BD，
在Rt△BEO中，sin∠O=sin60°=$\frac{BE}{OB}$，
∴OB=$\frac{BE}{sin60°}$，
∴OB=4，
在△CDE和△OBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠OBE}\\{BE=DE}\\{∠CED=∠OEB}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△OBE．
∴S_阴影=S_扇形=$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{8}{3}$π，
故答案为$\frac{8}{3}$π．

点评 本题考查了平行线性质，扇形的面积，三角形的面积，圆周角定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．