Question

17．在平行四边形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，若∠EBF=60°，且AE=2，DF=1，则EC的长为4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质和已知条件得出∠ABE=∠CBF=30°，得出CD=AB=2AE=4，由勾股定理求出BE，得出BC=2CF=6，再根据勾股定理即可求出EC．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴BE⊥BC，BF⊥AB，
∴∠ABF=∠EBC=90°，
∵∠EBF=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∵AE=2，DF=1，
∴CD=AB=2AE=4，
∴BE=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，CF=4-1=3，
∴BC=2CF=6，
∴EC=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$；
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．