Question

12．如图，已知线段AD=10，过点D作PD⊥AD于D，点P是直线PD上一点，且PD=3，以点P为圆心，半径为5作⊙P交线段AD于点E及AD的延长线于点F，又过点A作BA⊥AD于A，BA=8，连接BE、PE．
（1）求线段EF的长；
（2）试判断直线BE与⊙P的位置关系，并说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理得出ED=DF=$\frac{1}{2}$EF，根据勾股定理得出ED=4，即可求得EF；
（2）先证得△BAE∽△PDE，从而求得∠ABE=∠PED，进而证得∠PEB=90°，即PE⊥BE，即可证得直线BE与⊙P相切．

解答 解：（1）∵PD⊥AD，点P为圆心，
∴ED=DF=$\frac{1}{2}$EF，
连接PE，
在RT△PDE中，ED=$\sqrt{P{E}^{2}-P{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴EF=2ED=8；
（2）直线BE与⊙P相切；
∵AD=10，ED=4，
∴AE=10-4=6，
∵$\frac{BA}{AE}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，$\frac{ED}{PD}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{BA}{AE}$=$\frac{ED}{PD}$，
∵∠BAE=∠PDE=90°，
∴△BAE∽△PDE，
∴∠ABE=∠PED，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠PED+∠AEB=90°，
∴∠PEB=90°，即PE⊥BE，
∴BE是⊙P的切线．

点评 此题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．