Question

4．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．
（1）求证：CE∥AD；
（2）若AD=4，AB=6，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得出AE=CE，推出∠CAB=∠ECA，求出∠ACE=∠DAC，根据平行线的判定推出即可；
（2）过C作CQ⊥AB于Q，证Rt△ADC≌Rt△AQC（，推出AQ=AD=4，求出AE=CE=BE=3，求出EQ=1，在Rt△CQE中，由勾股定理求出CQ，在Rt△AQC中，由勾股定理求出AC=2$\sqrt{6}$，证△CEF∽△ADF，得出比例式，即可求出答案．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴AE=CE，
∴∠CAB=∠ECA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠ACE=∠DAC，
∴CE∥AD；

（2）解：
过C作CQ⊥AB于Q，
则∠AQC=∠ADC=90°，
∵在Rt△ADC和Rt△AQC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠CAB}\\{∠ADC=∠AQC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$
∴Rt△ADC≌Rt△AQC（AAS），
∴AQ=AD，
∵AD=4，
∴AQ=4，
∵∠ACB=90°，E为AB的中点，AB=6，
∴AE=CE=BE=3，
∴EQ=4-3=1，
在Rt△CQE中，由勾股定理得：CQ=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△AQC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∵CE∥AD，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{CE}{AD}$=$\frac{CF}{AF}$，
∴$\frac{3}{4}$=$\frac{CF}{2\sqrt{6}-CF}$，
∴CF=$\frac{6\sqrt{6}}{7}$．

点评 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，角平分线性质，平行线的判定，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．