Question

3．如图，点P在平行四边形ABCD内，且∠ABP=∠ADP，求证：∠DAP=∠DCP．

Answer 1

分析 首先过点P作PE∥AD交AB于E，GH∥AB交BC、AD于G、H，可得四边形AEPH、BGPE、CDHG都是平行四边形，易证得∠ABP=∠ADP，∠PEB=∠PHD，即可得△PBE∽△PDH，证得$\frac{PE}{PH}=\frac{BE}{DH}$，然后由平行四边形的对边相等，证得$\frac{PE}{AE}=\frac{PG}{CG}$．又由∠PEA=∠PGC，证得△PAE∽△PCG，继而证得结论．

解答 证明：过点P作PE∥AD交AB于E，GH∥AB交BC、AD于G、H．
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC∥PE，AB∥CD∥GH．
∴∠PEA=∠ABC=∠PGC，∠PEB=∠BAD=∠PHD．
∵∠ABP=∠ADP，∠PEB=∠PHD，
∴△PBE∽△PDH，
∴$\frac{PE}{PH}=\frac{BE}{DH}$，
∵四边形AEPH、BGPE、CDHG都是平行四边形，
∴AE=PH，BE=PG，DH=CG．
∴$\frac{PE}{AE}=\frac{PG}{CG}$．
又∵∠PEA=∠PGC，
∴△PAE∽△PCG．
∴∠BAP=∠BCP，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠DAP=∠DCP．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．